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      基于改進免疫優化算法的物流倉庫選址問題研究

        信息來源:   發布時間:2021-06-02  點擊數:

      0 引言

      合理的倉庫選址對現代物流管理有著重要影響,通過對倉庫進行合理規劃,不僅可以節約配送成本,還可以提高客戶滿意度及企業的核心競爭力[1]。倉庫選址問題是一個經典的組合優化問題,該問題通過確定設施點的位置,將需求點分配給開放的設施點,確保每個需求點的需求均能被滿足,并使總成本最小化?,F如今,有容量的設施選址問題已成為物流管理、供應鏈管理及運籌優化領域的研究熱點。李小川等[2]設計了改進的煙花算法對物流配送中心選址問題進行求解;李捷承等[3]針對物流配送設施選址的特點,設計了一個基于BIRCH(Balanced Iterative Reducing and Clustering Using Hierarchies)聚類的物流設施選址算法,可較大程度地節約長期運營成本;黃凱明等[4]對于物流網絡多層級設施選址—路徑規劃問題,建立了混合整數規劃數學模型,并提出量子進化算法與遺傳算法協同的雙智能算法集成求解方案;陳勇等[5]建立了逆向物流網絡模型,考慮廢舊家電回收的數量、質量、客戶需求量、回收中心對居民產生的負效用,為企業在物流設施選址及不同周期下的市場缺貨量、設施間流量分配等提供靈活的決策方案;張雨等[6]以時間路徑優化為研究對象,對聚類算法和最小支撐樹法進行改進,構建物流中心選址和物流配送區域劃分模型,以提升物流企業服務效率與服務質量。在物流倉庫選址模型中,考慮年運行成本及倉庫容量約束的研究較少。鑒于此,文中建立的有容量的倉庫選址模型考慮了倉庫年固定成本、車輛行駛成本和倉庫容量約束,使得模型更具有實際應用意義。

      P-中位選址問題(P-Median)是一類典型的組合優化問題,屬于NP-hard問題,在設施選址、交通、物流等領域有著較為廣泛的應用[7,8]。本文所建立的有容量的應急醫療設施選址模型是對P-中位選址問題的一種擴展,也屬于NP-hard問題。對于NP-hard問題的求解,精確算法很難在可接受的計算時間范圍內提供最優解[9]。雖然大多數元啟發式算法不能保證得到最優解,但它們可以在合理的時間內提供良好結果。已經有不少學者將遺傳算法[10,11,12]、禁忌搜索算法[13]、蟻群優化算法[14]、模擬退火算法[15]、免疫優化算法[16]等元啟發式算法應用到選址問題中。免疫優化算法被發現是一種解決多種優化問題的高效算法[17],其利用免疫機制保持種群多樣性。此外,免疫優化算法還具有自組織和魯棒性強的優點,適用于求解選址優化問題[18,19,20]。但是,免疫優化算法的免疫操作較為簡單,在求解過程中容易陷入局部最優。因此,根據倉庫選址問題的特點,對免疫優化算法設計兩種交叉算子與變異算子,使得算法在迭代過程中平衡局部搜索和全局搜索。此外,對算法中的參數進行測試,選取最優參數組合方式,提高算法性能,降低算法求解運行時間。

      1 模型建立

      本文建立的倉庫選址模型考慮了設施點的容量、年建設成本和車輛行駛成本。有容量的倉庫選址模型需從候選設施點集中選取部分作為設施點,為需求點提供貨物運輸服務。保證每個需求點均由設施點提供服務,且設施點服務的總需求量不超過設施點的服務容量限制。在選址問題中,車輛的行駛費用與設施點的建造費用往往是相互矛盾的。建立較少的倉庫可節省較多的建設費用,但會增加車輛的交通成本,反之亦然。因此,構建適當數量的倉庫可以幫助平衡倉庫建設成本與車輛行駛成本。

      1.1 模型假設

      為便于選址模型建立,給出以下假設:(1)一個設施點可為多個需求點提供服務,但一個需求點僅由一個設施點提供服務;(2)車輛行駛成本與行駛距離之間存在簡單線性關系;(3)區域內的需求點擬用離散型變量分布點集N表示,候選設施點從點集M中產生;(4)設施點倉庫建設為統一標準。

      1.2 參數與決策變量定義

      模型所用符號說明如下:

      集合:

      N:需求點的集合;

      M:設施點的集合;

      參數:

      dij:i需求點到j設施點之間的距離,i∈N,j∈M;

      p:設施點的個數;

      B:設施點的建設成本;

      r:計算設施點的折現率;

      t:新建設一個設施點的使用年限;

      k:道路曲折系數;

      Di:需求點i的需求量;

      G:設施點最大可服務的容量。

      決策變量:

       


      基于上述假設、定義的參數和決策變量,將倉庫選址問題的數學模型表示為:

       


      約束條件:

       


      目標函數(1)為設施點的年建設成本與車輛行駛成本之和。固定資產的價值可能會隨著時間而變化。在倉庫的使用年限內,將固定成本折算為年成本更為合理。貼現率r常用來表示建筑成本的當前價值與未來價值的關系[21,22]。因此,目標函數的第一部分為設施點的年建設成本,由建設成本與系數相乘得到[21]。目標函數的第二部分是車輛行駛成本。約束條件(2)表示僅當設施點j開放時,設施點j才可為需求點i提供運貨服務。約束條件(3)表示需求點i僅由一個設施點提供服務。約束條件(4)表示設施點開放的個數為p。約束條件(5)為服務容量的約束,即設施點所服務的容量不可超過其容量上限。約束條件(6)、(7)是對決策變量xij、yj的取值范圍進行約束。

      2 求解倉庫選址模型的免疫優化算法

      免疫優化算法是一種基于生物免疫系統的智能優化算法。在該算法中,模型中的目標函數和解分別對應于生物免疫系統中的“抗原”和“抗體”[18]。在算法迭代過程中,抗體與抗原之間的親和值逐漸提高,最終生成親和值最優的抗體。免疫優化算法流程如圖1所示。免疫優化算法在免疫選擇的作用下,反映了免疫記憶功能和免疫系統的自我調節功能。

      圖1 免疫優化算法流程

      圖1 免疫優化算法流程   

      Fig.1 Flow chart of immune optimization algorithm

      考慮到有容量倉庫選址模型的具體特征,設計改進的免疫優化算法,使其更適合有容量的倉庫選址模型,并克服經典免疫算法易陷入局部最優解的問題。改進的免疫優化算法主要由3部分構成:(1)初始化:確定解的表達形式,隨機產生初始抗體,將滿足條件的一定數量的抗體保存,以便算法能夠快速地尋優迭代;(2)抗體評價:抗體評價是通過計算抗體的親和力評價抗體優劣,親和力計算包括抗體與抗原的親和值、抗體密度。將質量高的若干抗體存入記憶庫中,以便算法快速收斂到最優解;(3)遺傳操作:在遺傳操作中,利用單點交叉、二點交叉、變異算子生成子代抗體,既加強了對有希望空間的搜索利用,又能保持種群的多樣性,使其快速收斂到最優解。

      2.1 解的表示與初始化

      倉庫選址模型的選址方案可以形成長度為l的抗體(l為開放設施點的數量),每個抗體表示開放設施點的序列,即解的序列。對于m個候選設施點中選取l個開放設施的選址問題,假設m個候選設施點的編號分別為1,2,…,m (m>1),則抗體l=[M1,M2,…,Ml]表示一個可行的解決方案,其中,M1,M2,…,Ml表示1,2,…,m中不重復的l個序號。

      2.2 初始解生成

      與經典免疫優化算法相同,初始解首先通過洗牌方式產生:將候選設施點集1,2,…,m (m>1)的順序打亂,隨機選擇兩個不同位置的數字并進行交換,執行次。將交換后序列的前l個數字作為初始抗體。但由此產生的抗體具有隨機性,抗體質量較差。因此,本文對抗體進行判斷,選擇優質抗體作為初始抗體??贵w中的每個設施點為Mj,(j∈M),usdcap(j)為設施點j已服務的需求量,demandi為需求點i的需求量,Cj為j設施點的服務容量。將需求點i分配給離其最近且滿足容量約束(usdcap(j)+demandi≤Cj)的設施點j,令xij=1,并更新usdcap(j)=usdcap(j)+demandi;遍歷完所有需求點i,如果demandi均能被滿足,且設施點所服務的總需求不超過該設施點的容量限制,則判定抗體合格;否則,重新產生新的抗體并檢驗是否合格。本文在算法中設置記憶庫存儲高質量的抗體,以保留優秀抗體的優秀特征,初始記憶庫中的抗體是隨機生成的合格抗體。將合格的P1個抗體與記憶庫中P2個抗體組成初始抗體群。

      2.3 抗體與抗原親和值

      抗體與抗原之間的親和值表示抗體對抗原的識別程度。通過式(8)計算抗體與抗原間的親和值,即適應度值。

       


      2.4 抗體間相似值

      抗體間的相似值表示它們之間的相似性。本文采用Smith等[23]提出的R-bit連續法計算抗體相似值。當兩個抗體有連續R位或更多位置上具有相同編碼時,表示兩種抗體相似,否則表示兩種抗體不相似。

       


      其中,tk,v為抗體k、v之間的相同位數,l為每個抗體的長度。例如,抗體xk=[53 23 12 45 61 20 37 56 24 65 34 1]和xv=[25 39 53 32 11 47 12 16 15 19 45 5]的相同位數為3,則xk和xv之間的Sk,v為0.25。

      2.5 抗體密度

      抗體密度φk,即抗體濃度,表示群體中相似抗體的比例。

       


      如果Sk,v>R,則Bk,v=1,否則Bk,v=0。R是預定義的閾值[23]。

      2.6 期望繁殖概率

      通過式(11)可計算抗體的期望繁殖概率,式(11)由抗體的親和值和抗體密度兩部分構成。

       


      其中,η為[0,1]區間內的常數。

      由式(11)可知,抗體與抗原的親合值越大,期望繁殖概率越高;抗體密度越大,期望繁殖概率越小。因此,式(11)不僅可以鼓勵選擇適應度值好的抗體,而且可以抑制抗體間的密度,從而確保種群的多樣性。當免疫優化算法抑制高密度的抗體時,部分高密度的抗體可能已接近于最優解,這樣會導致已求得的最優解丟失。因此,本文采用精英保留策略:在更新記憶庫時,先將與抗原親和值高的P個抗體存入記憶庫中,保留抗體群中精英個體的優秀特征;再提取前P1個抗體作為父代群體,按照期望繁殖概率進行選擇和遺傳操作,以保持優良抗體的特性。

      2.7 遺傳操作

      2.7.1 選擇

      通過輪盤賭的機制進行選擇操作,輪盤選擇法是一種比較受歡迎的選擇方法。根據抗體的期望繁殖概率,在父代群體P1中選擇兩個抗體。期望繁殖概率越大,被選擇的概率就越高。

      2.7.2 交叉

      交叉在遺傳操作中起著至關重要的作用,它可以提高抗體間的差異度,以便算法快速收斂到最優解??紤]是在整數編碼的遺傳操作環境下,本文使用時間復雜度低的兩種交叉操作方式:單點交叉和兩點交叉。對于兩種交叉方式的參數選擇,設置交叉率的范圍為θ∈[θminmax],隨機生成[0,1]之間的隨機數γ,若γ≤θ,則選擇單點交叉,反之,選擇兩點交叉操作。

      單點交叉:給定兩個抗體parent1、parent2,首先在2和l-1之間隨機選擇一個交叉點q。交換兩個抗體在q點之后的元素,得到parent1,、parent2,。若parent1,中更改的序號r在parent1中已存在,則找到parent1中序號r所在的位置R,并找到parent2中R位置的序號r,,將parent1,中的序號r改為r,。重復此步驟,直到抗體中無重復序號,得到子代抗體child1和child2。

      單點交叉操作如圖2所示。對于親本抗體parent1=[102 21 13 9 17 6 23 4]和parent2=[11 8 20 1 15 12 21 14 5],隨機選擇交叉點q=6。將兩個抗體第6個位置后的元素交換得到parent1,=[10 2 21 13 9 12 21 14 5],parent2,=[11 8 20 115 17 6 23 4]。在parent1,中有重復元素21,因此找到parent1中元素21所在的第3個位置,并找到parent2中位置3的序號為20,將parent1,第7個位置的元素改為20。最后,得到無重復元素的子代抗體child1=[10 2 21 13 9 12 20 145]和child2=[11 8 20 1 15 17 6 23 4]。

      圖2 單點交叉例子

      圖2 單點交叉例子   

      Fig.2 An example of one-point crossover

      兩點交叉:給定兩個親本抗體parent1、parent2,首先在2和l-1之間隨機選擇兩個不同的交叉點q1、q2,交換兩個抗體交換q1和q2之間的元素,得到抗體parent1,、parent2,。與單點交叉相同,需要消除子代抗體中的重復元素,得到子代抗體child1、child2。

      兩點交叉操作如圖3所示。對于親本抗體parent1=[102 21 13 9 17 6 23 4]和parent2=[11 8 20 1 15 12 21 14 5],隨機選擇兩個交叉點q1=4,q2=6。將兩個抗體q1和q2之間的元素交換,得到parent1,=[10 2 21 1 5 12 6 23 4],parent2,=[11 8 20 13 8 17 19 14 5]。parent2,中有重復元素8,因此找到parent2中元素8所在的第2個位置,并找到parent1中第2個位置的元素為2,將parent2,第5個位置的元素改為2。最后,得到無重復元素的子代child1=[10 2 21 1 5 12 6 23 4]和child2=[11 8 20 13 2 17 19 14 5]。

      2.7.3 突變

      突變指通過在抗體中引入隨機變異以增加種群多樣性,消除算法在無希望區域的停滯,探索新搜索區域的過程[24]。對于一個抗體,將其含有的元素記為child,即開放設施點的集合;抗體中不包含的元素記為Unopen,即未開放的設施點集合。隨機選擇候選設施點u∈child,未開放的設施點uˉ∈Unopen,將抗體中的u改為uˉ以實現突變操作。為了增加種群多樣性,重復此過程,直到突變率(突變次數)達到μ。

      在實現突變的過程中,還應考慮保護優秀解的特征,因為在迭代過程中,可能已求得一些解接近于最優解,直接對解執行突變操作,可能會丟失已求得的優秀解[24]。因此,在突變過程中選擇適應度值fitness最好的進行下一次迭代。如圖4所示,假設抗體長度l=3,突變率μ=3,當候選設施點集為M={1,2,…,12}時,則需要對抗體執行3次突變操作,記錄每次突變操作的適應度值,選擇適應度值最優的抗體進入下一次迭代。

      圖3 兩點交叉的例子

      圖3 兩點交叉的例子   下載原圖

      Fig.3 An example of two-point crossover

      Fig.4 An illustration of the mutation withμ=3,p=3 and N={1,2,?,12}

      Fig.4 An illustration of the mutation withμ=3,p=3 and N={1,2,?,12}   

      圖4 μ=3,l=3,N={1,2,…,12}的突變操作例子

      3 算例分析

      以上海市S物流公司為案例,根據實地調研,S物流公司每天由倉庫向各網點運輸貨物。該公司在上海市共有51個網點分布,因此獲取51個需求點的坐標與需求量,并選取15個候選倉庫點,需求點的需求量為每天運輸的車輛數。模型中各參數如表3所示。需求點與設施點的相關數據如表1、表2所示。

      根據經緯坐標計算兩點之間的距離,使用式(12)將經緯距離轉換為兩個節點i和j之間的實際行駛距離dij:

       


      其中,(xi,yi)、(xj,yj)為兩個節點的經度和緯度坐標,6 370為地球半徑(km)。通過式計算出兩點間的線性距離。抽取30組兩點間的線性距離,將其與百度地圖得到的實際行駛距離相比較,得到誤差值k。

      3.1 算法參數靈敏度分析

      參數的合理設置對算法的有效性和計算效率有著重要影響,算法中的參數:種群規模P=P1+P2(P1為父代群體數量,P2記憶庫容量)、迭代次數iter、記憶庫容量P2、交叉率的區間[θminmax]、期望繁殖概率評估參數η、突變率μ需要進行合理設置。參數調優和參數控制是元啟發式算法中確定參數值的兩種常用方法[25]。參數調優是將其他參數固定,僅變化需要測試的參數,找到求解效果最好的參數值;參數控制是將幾種參數的值進行變化組合,找到最優組合方式[25]。本文使用這兩種方法確定各參數值。在參數測試環節中,考慮到僅對一個案例進行測試具有偶然性,因此將案例生成4個不同規模的子案例并分別求解,測試參數對算法性能的影響,以尋找最優參數組合。

      3.1.1 迭代次數Iters

      迭代次數在算法中起重要作用,迭代次數設置較高可能會浪費算法運行時間,迭代次數設置較低可能會提前結束搜索過程,無法找到最優解。首先使用精確軟件CPLEX分別對4個案例進行求解,并得到最優值;然后使用本文設計的免疫優化算法對4個案例分別獨立運行10次,取得平均結果與平均運行時間。表4給出了4個案例的規模與求解情況,包括每個案例變量個數、約束條件個數、最優解(Best)、結果平均值(BOV)、10次求解中找到最優解的數量(Found)、結果與最優值的偏離程度(APD=((BOV-best) best)×100%)、運行平均時間(Time(s))、求得最優解的迭代次數(Iters)。

      表1 需求點坐標與需求量 
      Table 1 Demands and coordinates of each demand node    

      表1 需求點坐標與需求量

      表2 設施點坐標 
      Table 2 Coordinates of each facility node     

      表2 設施點坐標

      表3 模型中的其他參數 
      Table 3 Other parameters in the model    

      表3 模型中的其他參數

      由表4結果可知,4個案例在150次迭代內均求得了最優或接近最優解。因此,本文設置迭代次數Iters=150。

      3.1.2 種群規模P

      設置種群規模,取6個不同的參數值進行測試。表5給出了不同的種群規模下,4個案例進行10次運行的平均測試結果,包括種群規模、平均運行時間和APD(%)。從表5可以看出,當種群規模大于等于30時,運行時間和解的質量較好。隨著種群規模的增大,算法計算時間也越長??紤]到解的質量和計算時間,本文設置種群規模P=30。

      表4 4個案例運行10次得到的測試結果 
      Table 4 Test results from 10 runs in 4 cases     

      表4 4個案例運行10次得到的測試結果

      表5 種群規模測試結果 
      Table 5 Test results of population size     

      表5 種群規模測試結果

      3.1.3 記憶庫容量P2

      記憶庫用于存儲每次迭代產生的精英抗體。精英抗體的數量在種群中占有一定比例。記憶庫容量設置過大時,算法容易陷入局部最優;記憶庫容量設置過小時,尋找最優解的計算時間會增加。因此,設置合理的記憶庫容量,對保留精英抗體的特征與維持種群的多樣性具有重要意義。通過設置6個不同的比例,確定最合適的記憶庫容量。表6給出了不同的記憶庫容量值,4個案例運行10次的平均測試結果,其中,[X]表示不大于X的最大整數。由表6可以看出,當記憶庫容量為[0.35*(P)]時,可以得到較好的解決方案。因此,設置P2=[0.35*(P)],即P=30時,P2=10。

      表6 記憶庫容量測試結果 
      Table 6 Test results of memory capacity    

      表6 記憶庫容量測試結果

      3.1.4 交叉率[?min,?max]

      交叉率用于決定抗體的交叉操作為兩點交叉或一點交叉,這對決定如何保留親本特征較為重要。在算法運行時,與固定交叉率相比,可變的交叉率可以有更大的靈活性去探索更有前景的搜索區域。通過設置18個不同的取值區間,確定最合適的交叉率區間。表7給出了不同的交叉區間下,4個案例運行10次的平均測試結果。由表7所示的測試結果可以看出,在區間[0.5,1]和[0,0.9]內,計算得到的APD(%)值和計算時間較好。

      表7 交叉率測試結果 
      Table 7 Test results of crossover rate    

      表7 交叉率測試結果

      3.1.5 突變率μ

      變異是遺傳操作的主要算子之一,通過變異可以搜索新的區域、逃離當前局部最優情況。確定合適的突變率可以決定抗體變異強度。突變率和交叉率一樣重要,會對改進免疫優化算法的計算效率產生較大影響。設置較小的突變率容易在尋優過程中陷入局部最優,設置較大的突變率會失去已得到的優秀特征。表8給出了4個案例在不同突變率下運行10次的平均測試結果。從表8可以看出,當突變率為0.5和0.6時,免疫優化算法的性能更好,可以在較短時間內求得較好的解。

      表8 突變率測試結果 
      Table 8 Test results of mutation rate     

      表8 突變率測試結果

      3.1.6 參數η

      期望繁殖概率表示對抗體進行評估,參數η用于為抗體對抗原的識別程度、抗體密度賦予不同權重,以此得到抗體的期望繁殖概率。如表9所示,當參數η設置為0.8或0.85時,算法運行時間較短,且APD(%)較低,求得解的質量較高。

      表9 參數η測試結果 
      Table 9 Test results of parameterη    

      表9 參數η測試結果

      3.1.7 交叉率、突變率和參數η的組合方式

      不同的參數組合對算法性能也有很大影響。如上所述,交叉率、突變率和參數η有多個較優值,將不同的參數進行組合,得到8種組合方式。使用每種組合方式對4個案例各進行10次運行求解,得到平均運行時間與APD(%)值。不同參數組合的測試結果如表10所示,從測試的運行時間與APD(%)值可以看出,當參數組合[?min,?max]=[0,0.9]、μ=0.5、η=0.8時,算法求解時間與解的質量最優。

      表1 0 不同參數組合的測試結果 
      Table 10 Test results of different parameter combinations     

      表1 0 不同參數組合的測試結果

      基于上述討論和測試,算法參數設置情況為:迭代次數Iters=150、種群規模P=30、記憶庫容量P2=10、交叉率區間[?min,?max]=[0,0.9]、突變率μ=0.5、抗體評估參數η=0.8。

      3.2 結果分析

      通過上述改進的免疫優化算法及參數設置,對S物流公司的案例進行求解分析。實驗環境為Intel(R)Core i5-8250u CPU@1.60GHz 8.00GB內存,操作系統為64位Windows 10,使用Matlab R2017b進行編程。求解得到目標函數為9.116 06×105,運行時間為45.70s。所選擇的設施點為3、5、6、8、9、10、11、12、13、15,需求點與設施點分布情況如圖5所示(彩圖掃OSID碼可見)。圖5中的黃色圓點為需求點,紅色星星為所選的設施點,綠色圓點表示未被選擇的設施點,連線表明需求點與設施點之間的關系。從圖5可以看出,每個需求點均有指定的設施點進行服務,且需求點均被分配給距離較近的設施點。表11為設施點所服務的需求點和服務的總需求量,可以看出,每個設施點服務的總需求量均不超過服務容量限制。因此,本文的倉庫選址模型有效可行,能夠解決物流公司的倉庫選址與需求分配問題,并有效降低車輛成本與固定成本,提高企業對車輛及倉庫的控制。

      表1 1 設施點與需求點分配情況 
      Table 11 Relationship between facility points and demand points     下載原表

      表1 1 設施點與需求點分配情況
      圖5 設施點與需求點分布

      圖5 設施點與需求點分布   

      Fig.5 Distribution of facility and demand points

      為了驗證改進免疫優化算法的有效性,本文使用改進免疫優化算法的求解結果與軟件CPLEX精確求得的精確解進行對比分析。如表12所示,免疫優化算法與CPLEX求解得到的結果相同,且免疫優化算法運行時間更短。因此,免疫優化算法可有效地解決倉庫選址問題。

      表1 2 改進的免疫優化算法與CPLEX求解對比 
      Table 12 Comparison between improved immune optimization algorithm and CPLEX     

      表1 2 改進的免疫優化算法與CPLEX求解對比

      為了驗證改進免疫優化算法的求解性能,將其優化結果與經典免疫優化算法的求解結果進行對比分析。圖6和圖7分別為改進的免疫優化算法與經典免疫優化算法的收斂曲線。由圖6和圖7可以看出,改進的免疫優化算法無論是收斂速度,還是結果準確度都優于經典免疫優化算法。

      圖6 經典免疫優化算法收斂曲線

      圖6 經典免疫優化算法收斂曲線   

      Fig.6 Convergence curve of classical immune algorithm

      圖7 改進免疫優化算法收斂曲線

      圖7 改進免疫優化算法收斂曲線   

      Fig.7 Convergence curve of improved immune algorithm

      4 結語

      本文結合倉庫設施選址特點,建立了考慮容量約束的倉庫選址模型。根據選址模型特點,設計了改進的免疫優化算法對案例進行求解。在算法中設計了兩種交叉算子和變異算子,使得算法可快速收斂到最優解,降低算法運行時間。本文還對改進免疫優化算法的參數進行詳細分析,找到最優參數組合方式,提高算法性能。最后,對案例進行求解,驗證了模型和算法的有效性與可行性。本文提出的倉庫設施選址方法可為決策人員選擇最佳布局方案提供科學合理參考。

      在下一步研究中,將進一步細化影響倉庫選址的各因素,并考慮服務時間窗的約束,更合理地在模型中體現車輛行駛實際情況,以增加模型求解的準確性和實際應用價值。

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